等距多对角矩阵的乘积与逆

设 $n,k$ 为固定的自然数且 $1\le k\le n$，令 $A_{n+1,k,2k,\dots,sk}$ 表示一个 $(n+1)\times (n+1)$ 复多对角矩阵，其 $s=[n/k]$ 条次对角线与超对角线距主对角线分别为 $k,2k,\dots,sk$。我们证明所有此类多对角矩阵的集合 $\mathcal{MD}_{n,k}$ 在乘法及正指数幂下封闭。此外，$\mathcal{MD}_{n,k}$ 中由所有非奇异矩阵构成的子集在取逆及负指数幂下封闭。特别地，我们得到非奇异矩阵 $A_{n+1,k}$（称为 $k$-三对角矩阵）的逆属于 $\mathcal{MD}_{n,k}$，且若 $n+1\le 2k$ 则 $A^{-1}_{n+1,k}$ 亦为 $k$-三对角矩阵。利用这一事实我们给出了该逆的显式公式。