时变持久图概率 Fréchet 均值

为了将持久图作为真正的统计工具使用，拥有一组图的均值和方差的良好概念将非常有用。2011 年，Mileyko 及其合作者首次研究了配备 p-Wasserstein 度量的持久图空间 $(\mathcal{D}_p,W_p)$ 中 Fréchet 均值的性质。特别是，他们证明了有限图集的 Fréchet 均值总是存在，但不一定唯一。连续变化图集的均值本身不一定连续变化，这在试图将 Fréchet 均值定义扩展到 vineyards 领域时带来了明显的问题。我们通过修改 Fréchet 均值的原始定义来解决这个问题，使其成为持久图集上的概率测度；简而言之，一组图的均值将是原子测度的加权和，其中每个原子本身是一个由输入图的扰动确定的持久图。该定义为每个 $N$ 给出了一个映射 $(\mathcal{D}_p)^N \to \mathbb{P}(\mathcal{D}_p)$。我们证明了该映射在有限图上是 Hölder 连续的，因此可用于构建时变持久图（即 vineyards）的有用统计量。