前度量 Bourbaki 代数胚：M 理论的 Cartan 微积分

弦理论与 M 理论似乎需要对通常微分几何概念的推广。此类推广通常涉及将切丛扩展为配备各类代数胚结构的更大向量丛。最一般的几何方案尚不明晰，且亟需此类代数胚结构的统一框架。本文旨在提出这样一种一般框架。我们的策略是遵循 Courant 代数胚定义公理的层级：almost-Courant—metric—pre-Courant—Courant。特别地，我们聚焦于括号的对称部分与度量不变性性质，并试图以尽可能一般的方式理解它们。这些想法引导我们定义新的代数胚结构，称之为 Bourbaki 与度量-Bourbaki 代数胚。对于精确前度量 Bourbaki 代数胚的特殊情形，我们构造了推广外导数、Lie 导数与内积的 Cartan 微积分的映射。这是通过对精确 Courant 代数胚的 Severa 分类进行逆数学分析完成的。抽象出这些映射的关键性质，我们定义了 Bourbaki 预微积分的概念。反之，给定 Bourbaki 预微积分，我们构造了具有类比 Dorfman 括号标准括号的前度量 Bourbaki 代数胚。我们证明任何满足特定条件的精确前度量 Bourbaki 代数胚，其括号必为标准括号的扭曲版本。我们证明文献中许多代数胚都是这些新代数胚的实例。我们构造的一个直接推广是用 Lie 代数胚 A 替代切丛。该步骤使我们能定义 A-Bourbaki 代数胚与 Bourbaki A-预微积分，并推广我们的结果，同时证明文献中许多其他代数胚也契合此框架。