结构化凸体体积的实用计算及其在投资组合依赖性与金融危机建模中的应用

我们研究了一般维度多胞体及更一般凸体的体积计算，这些凸体被定义为一个单纯形与一族平行超平面、另一族平行超平面或一族同心椭球的交集。此类凸体出现在金融危机的建模与预测中。危机对经济（劳动力、收入等）的影响使其探测成为首要关注点。市场中依赖性的某些特征能清晰地识别动荡时期。我们通过 Copula 描述资产特征之间的关系；每个特征是投资组合分量的线性或二次形式，因此 Copula 可以通过计算凸体的体积来构建。我们在精确与近似环境下设计并实现了实用算法，对它们进行了实验对比，并研究了为提高速度而在精确度与准确性之间的权衡。我们按一般性递增的顺序分析了以下方法：基于在单纯形上均匀采样的拒绝采样，这是最快的方法，但对于小体积不准确；基于概率分布函数积分计算的精确公式；优化的 Lawrence 符号分解法，因为所涉及的多胞体被证明是简单的；使用基于 hit-and-run 范式并推广至非线性凸体的随机游走的 Markov chain Monte Carlo 算法，该算法依赖于计算内接球的新方法；后者在实验上被扩展至非凸体，取得了非常令人鼓舞的结果。我们基于 CGAL 和 Eigen 的 C++ 软件已在 github 上公开，在高达 100 维的情况下表现出非常高的有效性。我们的结果提供了计算投资组合依赖性与金融危机指标的新颖有效手段，该指标被证明能正确识别过去的危机。