有限矩阵的幂部分等距指数与升阶

我们对非负整数 $j$ 和 $k$ 以及正整数 $n$ 给出了完整刻画，确定了存在 $n\times n$ 矩阵使其幂部分等距指数等于 $j$ 且升阶等于 $k$ 的条件。回顾可知，矩阵 $A$ 的幂部分等距指数 $p(A)$ 是满足 $I, A, A^2, \ldots, A^j$ 均为部分等距的非负整数 $j$ 的上确界（可能为无穷大）；而 $A$ 的升阶 $a(A)$ 是使得 $\ker A^k$ 等于 $\ker A^{k+1}$ 的最小整数 $k\ge 0$。此前已知，对于任意矩阵 $A$，要么 $p(A)\le\min\{a(A), n-1\}$，要么 $p(A)=\infty$。在本文中，我们更精确地证明了：存在 $n\times n$ 矩阵 $A$ 使得 $p(A)=j$ 且 $a(A)=k$，当且仅当满足以下条件之一：(a) $j=k\le n-1$，(b) $j\le k-1$ 且 $j+k\le n-1$，以及 (c) $j\le k-2$ 且 $j+k=n$。这回答了我们之前在另一篇论文中提出的问题。