关于 $\Delta$-模整数线性规划与线性规划的一个简单联系，及整数顶点数的新界

设 $A \in Z^{m \times n}$，$rank(A) = n$，$b \in Z^m$，$P$ 为由系统 $A x \leq b$ 诱导的 $n$ 维多面体。已知若 $F$ 是 $P$ 的 $k$-面，则系统 $A x \leq b$ 中至少存在 $n-k$ 个线性无关的不等式在 $F$ 上取等号。换言之，存在指标集 $J$，使得 $|J| \geq n-k$，$rank(A_{J}) = n-k$，且 $$A_{J} x - b_{J} = 0,\quad \text{对任意 $x \in F$}。$$ 我们证明，若额外假设对某个 $\Delta \in \{1,2,\dots\}$ 有 $P$ 是 $\Delta$-模的，则类似事实对整数多面体 $$P_{I} = conv.hull\bigl(P \cap Z^n\bigr)$$ 也成立。更确切地说，若 $F$ 是 $P_{I}$ 的 $k$-面，则存在指标集 $J$，使得 $|J| \geq n-k$，$rank(A_{J}) = n-k$，且 $$A_{J} x - b_{J} \overset{\Delta}{=} 0,\quad \text{对任意 $x \in F \cap Z^n$},$$ 其中 $x \overset{\Delta}{=} y$ 表示 $\|x - y\|_{\infty} < \Delta$。换言之，系统 $A x \leq b$ 中至少存在 $n-k$ 个线性无关的不等式在 $F \cap Z^n$ 上几乎取等号。所谓几乎，是指松弛量不大于 $\Delta-1$。利用该事实，我们证明了关于 $P_I$ 顶点数的不等式 $$|vert(P_I)| \leq 2 \cdot \binom{m}{n} \cdot \Delta^{n-1},$$ 该界优于 $\Delta = O(n^2)$ 时现有最优界。