一致域中薛定谔算符的正解与调和测度

我们在有界一致域 $\Omega\subset {\bf R}^n$ 中给出方程 \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} -\triangle u & = \omega u \, \,& & \mbox{in} \, \, \Omega, \quad u \ge 0, \\ u & = f \, \, & &\mbox{on} \, \, \partial \Omega , \end{aligned} \right. \end{equation*} 正解的双边逐点估计，其中 $\omega$ 是 $\Omega$ 中的局部有限 Borel 测度，$f\ge 0$ 关于 $\partial\Omega$ 上的调和测度 $d H^{x}$ 可积。我们还给出了正解存在的充分且匹配的必要条件，以 $M^{*} (m \omega)(z)=\int_\Omega M(x, z) m(x)\, d \omega (x)$ 在 $\partial\Omega$ 上关于 $f \, d H^{x_0}$ 的指数可积性表示，其中 $M(x, \cdot)$ 是以 $x_0\in \Omega$ 为极点的 Martin 函数，$m(x)=\min (1, G(x, x_0))$，$G$ 为 Green 函数。这些结果给出了 $\Omega$ 上与薛定谔算符 $-\triangle - \omega$ 相关的调和测度的双边界，并在 $f=1$ 情形下给出了规范函数（gauge function）存在的判据。给出了对梯度具有二次增长的 Riccati 型椭圆方程的应用。