正多次调和电流：广义Lelong数与切触定理

Dinh--Sibony的切触与密度电流理论是近年出现但研究正闭电流的有力工具。二十多年前，Alessandrini与Bassanelli开创了$\mathbb{C}^k$中沿线性子空间的正多次调和电流的Lelong数理论。尽管该理论引人入胜，此后却未得到深入探索。通过引入广义Lelong数的概念并研究这些新的数值，我们将上述两种理论推广到更一般的正多次调和电流类以及更一般的背景流形情形。具体而言，在文章第一部分，我们考虑复维数为$k$的复流形$X$上的$(p,p)$双阶正多次调和电流$T$，并令$V\subset X$为维数$l$的K"ahler子流形，$B$为$V$中相对紧且分段$\mathcal{C}^2$光滑的开子集。我们对每个满足$\max(0,l-p)\leq j\leq \min(l,k-p)$的$j$定义了$T$沿$B$的第$j$个Lelong数，并证明其存在性及基本性质。我们的方法依赖于$X$中$V$的法丛的一些Lelong-Jensen公式，这些公式本身具有独立意义。文章第二部分致力于广义Lelong数的几何刻画。作为该研究的推论，我们证明$T$沿$B$的最高阶Lelong数完全内蕴。这是对Siu（针对正闭电流）与Alessandrini--Bassanelli（针对正多次调和电流）关于单点处Lelong数与坐标选取无关这一基本结果的推广。