闭正流支撑上的多重位势理论及其在 $\mathbb{C}^n$ 动力学中的应用

我们将多重位势理论中的某些经典定理推广到定义在 $(1,1)$-闭正流 $T$ 支撑上的一类函数，这类函数类似于 plurisubharmonic 函数，被称为 $T$-plurisubharmonic 函数。这些函数定义为在该支撑上递减的 plurisubharmonic 函数序列在 $T$ 支撑上的极限。特别地，我们证明了此类函数的极点集是 pluripolar 集。我们还证明了最大值原理和 Hartogs 定理在弱意义下仍然成立。我们通过一类称为“pluri-Jensen 测度”的测度来研究这些函数，并证明了它们在 $(1,1)$-闭正流的支撑上是丰富的。此外，对于任何 fat 紧集，我们获得了其相对 Green 函数关于一组 pluri-Jensen 测度上积分下确界的表达式。随后，借助这些测度，我们推导出了多项式凸 fat 紧集的刻画、pluripolar 集的刻画，以及闭正 $(1,1)$-流的支撑无处 pluri-thin 的事实。在本文的第二部分，利用这些工具研究了一类 $\mathbb{C}^n$ 自同构的动力学，这类自同构自然地推广了 $\mathbb{C}^2$ 中的 H\'enon 自同构。首先，我们研究了规范不变流支撑的几何性质。然后，我们获得了某些测度的拉回收敛于具有紧支撑的遍历不变测度的等分布结果。