Poncelet–Darboux、Kippenhahn 与 Szegő：射影几何、矩阵与正交多项式之间的相互作用
代数几何
2021-01-29 v1 经典分析与常微分方程
复变函数
摘要
我们研究作为支撑于单位圆 T 上的多边形族的包络的代数曲线。我们特别地给出了此类极小类曲线的刻画，并证明这些曲线的所有实现本质上等价，且可以用单位圆上的正交多项式（OPUC，也称为 Szegő 多项式）来描述。我们的结果关联到代数与射影几何中的经典结论，如 Poncelet、Darboux 和 Kippenhahn 的定理；一类矩阵的数值域；以及 Blaschke 乘积与圆盘函数。本文包含新结果、一些从新视角或新证明给出的旧结果，以及我们分析的严格基础。我们给出 Poncelet 性质、与多边形族相切的曲线以及关联于 Poncelet 曲线的多边形的严格定义。由此，我们能够澄清文献中出现的一些误解，并给出对一些已有断言的反例，以及验证它们所需对假设所作的修正。例如，我们证明内接于某些支撑于 T 上的多边形族中的曲线未必是凸的，可以有尖点，甚至可以与单位圆相交。两个思想在本文中起统一作用。其一是 OPUC 的效用，其二是使用切坐标的优势。后一思想此前已在 B. Mirman 的著作中被利用，我们试图将其贡献置于恰当的视角中。
引用
@article{arxiv.2101.12165,
title = {Poncelet-Darboux, Kippenhahn, and Szeg\H{o}: interactions between projective geometry, matrices and orthogonal polynomials},
author = {Markus Hunziker and Andrei Martinez-Finkelshtein and Taylor Poe and Brian Simanek},
journal= {arXiv preprint arXiv:2101.12165},
year = {2021}
}
备注
41 pages. 11 figures