具有稠密零点集的多项式与 Kakeya 猜想及 Furstenberg 集问题的离散模型

我们证明了 $\mathbb{R}^n$ 上 Kakeya 猜想的离散类比。该结果表明，（假设存在的）低维 Kakeya 集无法直接由离散构型构造。我们还证明了一个推广结论，完全解决了所有维度下 Furstenberg 集问题的离散类比。我们的定理与（真实的）问题之间的区别仅在于连续性这一（仍然困难的）问题，因为我们未施加入射处的横截性假设。证明的主要工具是 Wongkew \cite{wongkew2003volumes} 的一个定理，该定理指出低次多项式的零点集不能在单位立方体内过于稠密，并结合了 Dvir 型多项式论证 \cite{dvir2009size}。从证明的角度来看，我们还提出了一个比 Kakeya 猜想的（下）Minkowski 版本更强且几乎等价的猜想，并证明了部分相关结果。我们也给出了 \cite{wongkew2003volumes} 中定理的自有版本证明。我们的证明表明，该定理源于多项式零点集的性质与关于超曲面的一般命题的结合，后者可能具有独立兴趣。最后，我们讨论了如何将 Bourgain 猜想推广至高维，这与本文主题密切相关。