具有结构性质的多边际最优传输问题的多项式时间算法

多边际最优传输（MOT）因在机器学习、统计学及科学中的应用而备受关注。然而在多数应用中，MOT 的成功严重受限于高效算法的缺乏。事实上，一般情况下的 MOT 在边际数 k 及其支撑大小 n 上需要指数时间。本文发展了关于何种“结构”使 MOT 可在 poly(n,k) 时间内求解的一般理论。我们通过以双重可行性预言机的简单变体刻画不同算法所需“结构”，开发了在 poly(n,k) 时间内求解 MOT 的统一算法框架。该框架具有若干优势。首先，它使我们证明当前最流行的 MOT 算法 Sinkhorn 算法在 poly(n,k) 时间内求解 MOT 需要比其他算法严格更多的结构。其次，我们的框架使针对给定 MOT 问题开发 poly(n,k) 时间算法大为简化。特别地，必要且充分的是（近似）求解双重可行性预言机——其更适于标准算法技术。我们通过为三类通用 MOT 代价结构开发 poly(n,k) 时间算法来展示此易用性：（1）图结构；（2）集合优化结构；（3）低秩加稀疏结构。对于结构（1），我们恢复了 Sinkhorn 具有 poly(n,k) 运行时间的已知结果；此外，我们提供了首个用于计算精确且稀疏解的 poly(n,k) 时间算法。对于结构（2）-（3），我们给出了首个 poly(n,k) 时间算法，即便对于近似计算亦然。总体而言，这三类结构涵盖了当前 MOT 的许多（即便不是大多数）应用。