论部分最优传输：重新审视 Sinkhorn 的不可行性与高效梯度方法

本文研究了两个至多具有 $n$ 个支撑点的不平衡测度之间的部分最优传输 (Partial Optimal Transport, POT) 问题及其在颜色迁移或域适应等各种人工智能任务中的应用。因此，在新兴应用中，随着问题规模的不断增大，亟需对 POT 进行快速近似。我们首先从理论和实验上研究了最先进的 POT Sinkhorn 算法的不可行性，该不可行性源于其不兼容的舍入过程，进而降低了其在点云配准等实际应用中的定性能表现。为此，我们提出了一种新的 POT 舍入算法，然后提供了一种可行的 Sinkhorn 过程，其修正后的计算复杂度为 $\mathcal{\widetilde O}(n^2/\varepsilon^4)$。我们的舍入算法还允许开发两种一阶方法来近似 POT 问题。第一种算法，自适应原始-对偶加速梯度下降 (Adaptive Primal-Dual Accelerated Gradient Descent, APDAGD)，在 $\mathcal{\widetilde O}(n^{2.5}/\varepsilon)$ 内找到 POT 问题的 $\varepsilon$-近似解，在 $\varepsilon$ 上优于修正后的 Sinkhorn。第二种方法，对偶外推法 (Dual Extrapolation)，实现了 $\mathcal{\widetilde O}(n^2/\varepsilon)$ 的计算复杂度，是文献中最优的。我们进一步展示了 POT 相对于标准 OT 的灵活性，以及我们的算法在两个边缘分布不平衡的实际应用中的实用性。