多项式海森堡代数与潘勒韦方程

我们首先研究超对称量子力学(SUSY QM)，特别是谐振子和径向振荡器的情形。然后，我们获得了一个用于合流 SUSY 变换的新的 Wronskian 公式，并将 SUSY QM 应用于反谐振子。此后，我们提出多项式海森堡代数(PHA)。我们研究由 PHA 描述的一般系统：对于零阶和一阶，我们分别得到谐振子和径向振荡器；对于二阶和三阶 PHA，势分别由潘勒韦 IV 和 V 方程($P_{IV}$ 和 $P_V$)的解确定。随后，我们回顾六个潘勒韦方程并研究 $P_{IV}$ 和 $P_V$ 的情形。我们证明了一个将 $2k$ 阶 PHA 约化为二阶代数的定理。我们也证明了将 $(2k+1)$ 阶 PHA 约化为三阶代数的类似定理。通过这些定理，我们找到了用合流超几何函数表示的 $P_{IV}$ 和 $P_V$ 的解。对于某些特例，这些解可分类为若干解层次。以此方式，我们为两个方程找到了具有实参数的实解以及具有实和复参数的复解。最后，我们研究了与 $P_{IV}$ 相关的谐振子的 SUSY 伙伴的相干态(CS)，我们称之为潘勒韦 IV 相干态。由于这些系统具有三阶阶梯算符 $l_k^\pm$，我们首先寻求作为湮灭算符 $l_k^-$ 本征态的 CS。我们还定义了类似于位移算符的算符，并从希尔伯特空间所分解成的每个子空间中的极值态出发得到 CS。我们通过将线性化过程应用于阶梯算符以定义新的位移算符来获得涉及整个希尔伯特空间的 CS，从而结束我们的处理。