多项式互补问题

给定欧几里得 $n$ 维空间上的多项式映射 $f$ 和向量 $q$，多项式互补问题 $PCP(f,q)$ 是指寻找非负向量 $x$ 使得 $y=f(x)+q$ 非负且与 $x$ 正交的非线性互补问题。若多项式映射是齐次的，则称之为张量互补问题。在本文中，我们建立了多项式互补问题 $PCP(f,q)$ 与张量互补问题 $PCP(f^*,0)$ 之间的联系结果，其中 $f^*$ 是将 $f$ 分解为齐次多项式映射之和时的首项。例如，我们证明当 $PCP(f^*,0)$ 的唯一解为零且 $\min\{x,f^*(x)\}$ 在原点处的局部（拓扑）度非零时，$PCP(f,q)$ 对所有 $q$ 均有非空紧致解集。作为推论，我们建立了多项式互补问题的 Karamardian 型结果。通过将 $m$ 阶 $n$ 维张量 $A$ 与其对应的齐次多项式 $F(x):= Ax^{m-1}$ 相对应，我们将我们的结果与张量互补问题联系起来。这些结果表明，在适当条件下，对于所有次数小于 $m-1$ 的多项式映射 $P$ 和所有向量 $q$，$PCP(F+P,q)$ 均有非空紧致解集，从而实质性地改进了仅考虑 $PCP(F,q)$ 类型问题的现有张量互补结果。我们引入了 $R_0$-张量的度数概念，并证明了 $R$-张量的度数为 1。我们通过构造基于矩阵的张量来阐释我们的结果。