基于多项式加权主成分分析的多项式正交等价性证明

设 $f(x) \in \mathbb{R}[x_1,\dots, x_n]$ 和 $g(x) \in \mathbb{R}[x_1,\dots, x_n]$ 是两个 $n$ 变量 $d$ 次实多项式。若多项式 $f$ 和 $g$ 在正交对称性下相同，一个自然的问题是正交群中哪个元素诱导了该正交对称性；即寻找 $R\in O(n)$ 使得 $f(Rx)=g(x)$。一种直接求解该问题的方法是，利用关系式 $f(Rx)=g(x)$ 结合正交群的恒等式构造一个非线性方程组，然而当 $n$ 和 $d$ 较大时，该方法的计算代价相当高。为了给出该问题的一种替代且可显著扩展的解决方案，我们引入了多项式加权主成分分析（PW-PCA）的概念。我们特别展示了如何有效计算 PW-PCA，以及如何利用这些技术获得正交等价性的证明，即找到 $R\in O(n)$ 使得 $f(Rx)=g(x)$。