一类随机多尺度弹性问题的多项式逼近

我们考虑 ${\mathbb R}^d$ 中的一类弹性方程，其弹性模量依赖于 $n$ 个分离的微尺度，是随机的，并表示为可数随机变量序列的线性展开，这些随机变量在紧区间上独立同均匀分布。我们考虑了可直接计算应力的多尺度 Hellinger-Reissner 问题，以及针对近不可压缩各向同性材料的多尺度混合问题。随机问题通过依赖于可数个实参数的确定性问题来研究。我们研究包含全部宏观与微观信息的多尺度均匀化问题，其解写为广义多项式混沌(gpc)展开。我们通过半离散 Galerkin 逼近问题来近似这些解，这些问题投影到仅含有限个 $N$ 个 gpc 模态的函数空间。我们推导了解 gpc 展开系数的界和可和性，当用于 Galerkin 逼近的 gpc 模态选为 gpc 展开中最佳 $N$ 项时，这些性质给出了关于 $N$ 的显式收敛速率。对于近不可压缩材料的混合问题，最佳 $N$ 项逼近的收敛速率与拉梅常数之比无关。我们基于半离散 Galerkin 逼近建立了参数修正项。对于双尺度问题，推导了显式的均匀化速率。结合最佳 $N$ 项速率，它给出了参数多尺度问题修正项的显式收敛速率。对于近不可压缩材料，我们得到了与拉梅常数之比无关的均匀化速率，从而修正项的误差也与该比值无关。