基于非线性几何光学的多尺度随机 Galerkin 方法求解具随机输入的高振荡输运方程

我们针对一类在非绝热量子动力学的半经典建模中出现的高振荡输运方程，开发了基于广义多项式混沌的随机 Galerkin 方法。这些模型包含不确定性，特别是在对应于分子系统势能的系数中。我们首先关注一个具有随机不确定性的高振荡标量模型。我们的方法建立在文献 \cite{NGO} 中为确定性方程数值逼近而开发的基于非线性几何光学的方法之上，该方法即使在空间和时间上未数值解析振荡的情况下，也能获得精确的逐点解。在随机不确定性下，我们证明该方法在随机空间中具有高阶振荡导数，因此需要在随机空间中进行依赖于频率的离散化。我们通过引入一个基于相位的新“时间”变量来修正该方法，该变量在随机空间中被证明是非振荡的，基于此我们开发了一种 gPC-SG 方法，该方法能够以与频率无关的时间步长、网格尺寸以及多项式混沌阶数来捕捉振荡。随后，类似的方法被扩展到半经典表面跳跃模型系统，并得出了类似的数值结论。各种数值算例证明，即使没有任何数值参数能够解析解的高频，这些方法确实能精确地逐点捕捉解的统计量。