$\alpha n^d$ mod $1$ 的 Poisson 相关性

令 $x(n):=\alpha n^d \mod 1$，其中 $d > 1$ 为整数，$\alpha$ 为非零实数。我们证明，当 $d$ 足够大（取决于 $\ell$）时，对于几乎所有的 $\alpha$ 取值，$\{x(n)\}_{n>0}$ 具有 Poisson $\ell$ 点相关性。这与 Berry--Tabor 猜想的预期行为一致。此外，秉承 Rudnick--Sarnak 猜想的精神，我们通过傅里叶解析的转移原理，证明了对于满 Hausdorff 维数的坏逼近 $\alpha$ 集合具有 Poisson $\ell$ 点相关性。证明利用了行列式方法来计算 $d$ 次对角超曲面上的点，以这种方式捕获属于低维簇的点的贡献。随着 $d$ 增大，这些“特殊解”主导了计数，而非特殊解变得愈发稀少。这一分层计数陈述使我们能够非常有效地控制平均点数。