非阿基米德 Pfaffian 与 Noetherian 函数的点计数及 Wilkie 猜想

我们考虑在域 ${\mathbb{C}}(\!(t)\!)$ 上对解析或可定义子集上的多项式曲线按次数 $r$ 进行计数的问题。类比阿基米德情形下的经典 Pila-Wilkie 计数定理，可预期此类结果。Cluckers-Comte-Loeser 在 ${\mathbb{Q}}_p$ 上的工作中已发展出若干此类非阿基米德类比，但 ${\mathbb{C}}(\!(t)\!)$ 中的情形似乎截然不同。我们证明，在 ${\mathbb{C}}(\!(t)\!)$ 上子解析集的超越部分中，固定次数 $r$ 的多项式曲线集合自动为有限，但给出例子表明即使对解析集，其数量也可能任意快速增长。因此，对一般解析集无法期望存在 Pila-Wilkie 定理的类似物。另一方面，我们表明若将范围限制于由 Pfaffian 或 Noetherian 函数定义的簇，则数量关于 $r$ 至多多项式增长，从而表明在此情形下 Wilkie 猜想的类似物确实成立。