非阿基米德 Yomdin-Gromov 参数化与有界高度点

我们证明了 $p$-进可定义集以及更一般地在非阿基米德可定义语境下 Yomdin-Gromov 引理的类似结果。该类似结果保留了 Taylor 多项式的分段逼近，这在全不连通情形下是一个非平凡的方面。我们将此结果应用于：界定 $p$-进次解析集超越部分上有界高度的有理点数量；以及界定位于定义于 $\mathbb{C} ((t))$ 上的代数簇上的有界次数复多项式集合的维数，这分别类似于 Pila 和 Wilkie 以及 Bombieri 和 Pila 的结果。在此过程中，我们在非阿基米德几何的一般语境下证明了可定义函数的局部 Lipschitz 连续性蕴含分段全局 Lipschitz 连续性。