从 Heisenberg 不确定性关系导出 Poincaré 对称性

我们注意到单变量 Heisenberg 对易关系包含 $Sp(2)$ 群的对称性，该群同构于适用于一个类时维度和两个类空维度的 Lorentz 群，即已知的 $O(2,1)$ 群。根据 Paul A. M. Dirac，由两变量的不确定性对易关系可以构造 de Sitter 群 $O(3,2)$，即适用于三个类空变量和两个类时变量的 Lorentz 群。通过在 $O(3,2)$ 中收缩其中一个类时变量，可以构造非齐次 Lorentz 群 $IO(3,1)$，它作为 Lorentz 协变世界中量子力学和量子场论的基本对称群。此 $IO(3,1)$ 群通常被称为 Poincaré 群。