$\mathbb{R}P^3$ 中球面辫的平板闭包

我们定义球面辫的平板闭包以得到 $\mathbb{R}P^3$ 中的链环，并证明 $\mathbb{R}P^3$ 中的所有链环均可以此方式实现。给定 $\mathbb{R}P^3$ 中 $2n$ 股的球面辫 $\beta$，我们关联一个称为\textit{剩余置换}的 $n$ 元置换 $h_{\beta}$。我们证明球面辫 $\beta$ 的平板闭包链环的分支数等同于 $h_{\beta}$ 中不相交循环的个数。我们还提出一组作用于球面辫上的变换，其精神与经典的辫上 Markov 变换一致。这组变换能否完备地刻画平板闭包链环的整个同痕类仍有待探索。