具有延迟反馈的随机方程中的叉形和Hopf分岔阈值

给出了一个具有延迟反馈的模型随机微分方程的分岔图。我们的研究动机来自于转录基因调控中随机效应的最新研究。我们从叉形分岔的标准型出发，并添加了乘性噪声或参数噪声以及线性延迟反馈。后者足以在存在足够强负反馈的参数区域中引发Hopf分岔。我们在参数空间中找到了一个尖锐的分岔，并将阈值定义为平稳分布函数$p(x)$从平凡态$x=0$处的delta函数变为小$x$处的$p(x) \sim x^\alpha$（在阈值处恰好有$\alpha = -1$）的点。我们发现，相对于确定性极限，分岔阈值被涨落移动了一个与噪声强度成线性关系的量。还在小延迟$\tau \to 0$的极限下给出了分岔阈值的解析计算，即使对于$\tau = 1$，该结果也与数值解相当吻合。