面向具有尖锐扰动初值抛物型微分方程的物理信息神经网络方法

本文中，我们针对具有尖锐扰动初值的抛物型问题开发了物理信息神经网络（PINN）模型。作为抛物型问题的例子，我们考虑具有点（高斯）源初值的平流-弥散方程（ADE）。在 $d$ 维 ADE 中，初值扰动随时间 $t$ 以 $t^{-d/2}$ 衰减，这会在 PINN 解中引起较大的逼近误差。ADE 解中局部的大梯度使得（PINN 中常见的）方程残差的拉丁超立方采样效率极低。最后，抛物型方程的 PINN 解对损失函数中权重的选择敏感。我们提出了一种归一化形式的 ADE，其中解的初值扰动幅度不衰减，并证明该归一化显著减小了 PINN 逼近误差。我们提出了损失函数中权重的选择准则，其产生的 PINN 解比其他方法所选权重得到的更准确。最后，我们提出了一种自适应采样方案，在相同的采样（残差）点数目下显著减小了 PINN 解误差。我们展示了所提 PINN 模型在前向、反向和逆向 ADE 中的准确性。