通过霍尔型不等式与子模性的系统发育灵活性

给定有限集 $X$ 的子集族 $\tau$，如果对于任意以 $\tau$ 为叶集族的 rooted 系统发育树集合 $R$，$R$ 是相容的（即存在一个 rooted 系统发育 $X$ 树能展示 $R$ 中的每棵树），则称 $\tau$ 是系统发育灵活的。我们证明 $\tau$ 是系统发育灵活的当且仅当它满足称为“slim”的霍尔型不等式条件。利用子模性论证，我们证明存在一个多项式时间算法来判断 $\tau$ 是否为 slim。在所有 $\tau$ 中集合大小均为 3 的情况下，该“slim”条件简化为一个更简单的不等式，我们称之为“thin”性质。最近研究表明 thin 集等价于存在一个（无根）树，其中位数函数提供到其顶点集的单射映射；我们在此证明该表示中的无根树总可选择为毛毛虫树。我们还刻画了大小为 2 的子集族 $\tau$ 何时为 thin（就全序的灵活性而非系统发育而言），并证明这成立当且仅当关联二部图是森林。我们的结果在系统发育学中的意义在于，为需要树的一致输入的超树方法提供了精确且可有效验证的条件，使其能应用于给定物种子集上的任意输入树。