随机群中存在范坎彭2-复形的相变

Gromov(1993)证明，以高概率，密度 $d$ 处随机群的每个有界且约化的范坎彭图 $D$ 满足等周不等式 $|\partial D|\geq (1-2d-s)|D|\ell$。本文改编Gruber-Mackay对随机三角群的证明，给出该不等式的非约化2-复形版本。此外，对给定几何形式的任意2-复形 $Y$，我们揭示一种相变：显式给出仅依赖于 $Y$ 的临界密度 $d_c$，使得在密度 $d$ 的随机群中，若 $d<d_c$ 则不存在形如 $Y$ 的约化范坎彭2-复形；而若 $d>d_c$ 则存在形如 $Y$ 的约化范坎彭2-复形。作为一个应用，我们给出 $C(p)$ 小消去条件的相变：对密度 $d$ 的随机群，若 $d<1/(p+1)$ 则满足 $C(p)$；而若 $d>1/(p+1)$ 则不满足 $C(p)$。