Riemann曲面尖点处Lagrange谱的持久Hall射线

我们研究有限面积Riemann曲面尖点处的Lagrange谱。这些谱是穿透谱，描述了测地线在尖点中穿透的渐近深度。其研究特别受到Fuchs群上的Diophantine逼近的推动。在模曲面和经典Diophantine逼近的经典情形中，Hall于1947年证明了经典Lagrange谱包含一条半直线，称为Hall射线。我们将此结果推广到带尖点的Riemann曲面和Fuchs群上的Diophantine逼近的背景下。人们既可以关于自然高度函数、也可以更一般地关于任何正则函数来度量进入尖点的游走。我们证明了，对于任何非紧余有限Fuchs群关于任何给定尖点的Lagrange谱，无论穿透是由虚部诱导的高度函数度量，还是由关于Lipschitz范数接近它的任何正则函数度量，Hall射线的存在性。这表明Hall射线在（Lipschitz）扰动下是稳定的。作为主要工具，我们使用Bowen和Series发展的边界展开来编码测地线并产生几何连分数式展开，以此模拟Hall原始论证中的关键思想。正则函数结果证明中的一个关键要素是Hall关于Cantor集之和的定理的推广，其中我们考虑的是在Lipschitz范数下为求和的小扰动的函数。