被动标量平流中的持续性

我们考虑一维被动标量平流方程中的持续性现象。速度场是随机的，满足 $<v(k,\omega)v(-k,-\omega) > \sim |k|^{-(2+\alpha)}$。在存在非线性的情况下，完整的格林函数变为 $G^{-1}=-i\omega+Dk^2+\Sigma$。我们根据关联函数自洽地确定 $\Sigma$，得到 $\Sigma \sim k^{\beta}$，其中 $\beta=(1-\alpha)/2$。方程中非线性项在 $\mathcal{O}(\epsilon^2)$ 阶的影响是将分子粘性引起的扩散项替换为形式为 $\Sigma_0 k^{\beta}$ 的有效项。该系统的稳态关联函数为 $[\mathrm{Sech}(T/2)]^{1/\beta}$。利用自洽理论，我们确定了 $\beta$ 与 $\alpha$ 之间的关系。最后，使用IIA确定了持续性指数。