通过势垒的准绝热运动置换量子本征模

我们研究 $L^2((0,1),\mathbb{C})$ 上的 Schr\"odinger 方程 $i\partial_t\psi=-\Delta\psi+V\psi$，其中 $V$ 是一个极高且局域化的势垒。我们的目标是实现本征模的置换并控制方程的解。我们考虑势垒的位置和高度按如下方式变化的过程。首先，势从零增大到一个非常大的值，从而形成一个几乎将区间分为两部分的窄势垒；然后势垒移动到另一位置，之后势垒高度再次衰减至零。我们表明，即使势参数的变化率可以任意慢，该过程仍交替出现绝热与非绝热动力学，导致本征态的非平凡置换。此外，我们考虑具有多个窄势垒的势，并展示势垒的任意慢运动可引导系统从任意给定态到达任意其他态的任意小邻域，从而通过势的柔和准绝热变化证明了上述 Schr\"odinger 方程的近似能控性。