特征为 2 的有限域上 8 次置换多项式

在线性变换意义下，我们对 $\mathbb{F}_{2^r}$ ($r>3$) 上 8 次置换多项式(PPs)进行了分类。由 [J. Number Theory 176 (2017) 466-66] 知，$\mathbb{F}_{2^r}$ 上 8 次多项式 $f$ 是例外的当且仅当 $f-f(0)$ 是线性化 PP。因此只需搜索 $\mathbb{F}_{2^r}$ 上非例外 8 次 PP，由先前结果知此类多项式仅当 $r\leqslant9$ 时存在。这可由个人计算机上运行的 SageMath 软件穷举完成。为便利计算，给出了线性变换后多项式系数所需满足的一些条件以及由 Hermite 判别法得到的显式方程。主要结果是：$\mathbb{F}_{2^r}$ ($r>3$) 上存在非例外 8 次 PP $f$ 当且仅当 $r\in\{4,5,6\}$，且此类 $f$ 在线性变换意义下被显式列出。