关于 $\mathbb{F}_q^2$ 上低次数置换的若干类型判定

有限域上的置换特征征是数论中一个历史悠久且重要的话题。本文系统性地研究了定义在 $\mathbb{F}_{q}^2$ 上的低次数双变量多项式系统 $F=(f_1(x,y),f_2(x,y))$。具体而言，我们运用赫姆德准则（Hermite's Criterion）对双变量二次置换多项式系统进行完全分类，同时利用置换有理函数理论，对双变量3齐次置换多项式系统给出完整分类。此外，作为本研究结果的应用，我们提供了对特征为 $p\neq3$ 的 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上形式为 $x^3+ax^{2q+1}$ 的置换二项式的显式特征征，从而解决了该经典研究领域中的一个重要特殊情况。