单项式曲线的 Betti 数的周期性

设 $K$ 为任意域。设 $\a = (a_1< ... <a_n)$ 为正整数序列。设 $C(\a)$ 为 ${\mathbb A}^n$ 中由 $t\to (t^{a_1}, ..., t^{a_n})$ 参数化的仿射单项式曲线。设 $I(\a)$ 为 $K[x_1, ..., x_n]$ 中 $C(\a)$ 的定义理想。对于每个正整数 $j$，设 $\a+j$ 为序列 $(a_1 + j, ..., a_n+j)$。在本文中，我们证明了 Herzog 和 Srinivasan 的猜想，即 $I(\a + j)$ 的 Betti 数最终关于 $j$ 呈周期性变化，周期为 $a_n -a_1$。当 $j$ 足够大时，我们描述了 $C(\a+j)$ 在 $\PP^n$ 中闭包的 Betti 表。