射影Cohen-Macaulay单项曲线及其仿射图表

本文探讨了射影单项曲线的坐标环与其一个仿射图表的坐标环的Betti数何时相同。给定一个无限域$k$和一个互质整数序列$a_0 = 0 < a_1 < \cdots < a_n = d$，我们考虑由$x_i = u^{a_i}v^{d-a_i}$（对所有$i \in \{0,\ldots,n\}$）参数定义的$d$次射影单项曲线$\mathcal{C}\subset\mathbb{P}_k^{\,n}$及其坐标环$k[\mathcal{C}]$。曲线$\mathcal{C}_1 \subset \mathbb A_k^n$，其参数方程为$x_i = t^{a_i}$（$i \in \{1,\ldots,n\}$），是$\mathcal{C}$的一个仿射图表，我们用$k[\mathcal{C}_1]$表示其坐标环。本文的主要贡献是引入了一个新的（无Gröbner）组合判据，该判据为$k[\mathcal{C}]$和$k[\mathcal{C}_1]$的Betti数相等提供了充分条件。利用这一判据，我们识别了满足此性质的无限射影曲线族。此外，我们利用结果研究了所谓的移位单项曲线族，即与序列$j+a_1 < \cdots < j+a_n$（$j \in \mathbb N$取不同值）相关的曲线族。在此背景下，Vu证明了对于足够大的$j$，相应仿射曲线和射影曲线的Betti数相等。利用我们的结果，我们改进了Vu关于此发生的最小$j$值的上界。