Catalan 数和 Narayana 数中的完全幂

Catalan 数或 Narayana 数何时为（非平凡）完全幂？对于 Catalan 数，我们表明答案是“从不”。然而，我们证明了对于任意 $b$，Narayana 数 $N(a,b)$ 对于无穷多个 $a$ 值均为（非平凡）完全平方数，并展示了如何计算所有这些值。我们还猜想对于大于 2 的 $k$，$N(a,b)$ 永远不是（非平凡）完全 $k$ 次幂，并证明了该猜想的若干情形。