2 的什么幂次整除一个加权 Catalan 数？
组合数学
2007-05-23 v2 数论
摘要
给定一个整数序列 b = (b_0,b_1,b_2,...) ，赋予长度为 2n 的 Dyck 路径 P 权重 wt(P) = b_{h_1} b_{h_2} ... b_{h_n}，其中 h_i 是 P 的第 i 个上升的高度。相应的加权 Catalan 数为 C_n^b = sum_P wt(P)，其中求和遍历所有长度为 2n 的 Dyck 路径。因此，特别地，普通 Catalan 数 C_n 对应于对所有 i >= 0 有 b_i = 1。令 xi(n) 表示 n 的二进指数，即整除 n 的 2 的最大幂次。我们给出 b 上的一个条件，蕴含 xi(C_n^b) = xi(C_n)。在特例 b_i=(2i+1)^2 下，这解决了 Postnikov 关于平面 Morse 链环个数的猜想。我们的证明推广了 Deutsch 和 Sagan 最近对经典公式 xi(C_n) 的组合证明。
引用
@article{arxiv.math/0601339,
title = {What power of two divides a weighted Catalan number?},
author = {Alexander Postnikov and Bruce Sagan},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0601339},
year = {2007}
}
备注
Fixed references