PDE 求解器应当具有局部性：使用学习的局部模板进行快速稳定的展开
机器学习
2025-10-01 v1 数值分析
数值分析
摘要
用于求解偏微分方程（PDE）的神经算子模型通常依赖于全局混合机制（例如谱卷积或注意力机制），这倾向于过度平滑尖锐的局部动力学并引入高计算成本。我们提出了 FINO，一种受有限差分启发的神经架构，它在保持多尺度表示能力的同时强制严格的局部性。FINO 用可学习的卷积核替换固定的有限差分模板系数，并通过显式的、可学习的时间步进方案演化状态。核心的局部算子块利用微分模板层、门控掩码和线性融合步骤来构建自适应的类导数局部特征，这些特征随时间向前传播。嵌入在带有瓶颈层的编码器-解码器结构中，FINO 在保持可解释性的同时捕获了细粒度的局部结构。我们建立了 (i) 在 Lipschitz 条件下将单步近似误差与稳定的长时域展开联系起来的复合误差界限，以及 (ii) 离散时间步进 PDE 动力学的通用近似定理。(iii) 在六个基准测试和一项气候建模任务中，FINO 实现了高达 44% 的较低误差，并且比最先进的算子学习基线实现了高达约 2 倍的加速，这表明具有可学习时间步进的严格局部性为神经 PDE 求解器提供了准确且可扩展的基础。
引用
@article{arxiv.2509.26186,
title = {PDE Solvers Should Be Local: Fast, Stable Rollouts with Learned Local Stencils},
author = {Chun-Wun Cheng and Bin Dong and Carola-Bibiane Schönlieb and Angelica I Aviles-Rivero},
journal= {arXiv preprint arXiv:2509.26186},
year = {2025}
}