无偏差质量约束复杂系统的隐状态学习：基于 PDE 的方法

我们提出了一个基于下一代方程无关算法的三层机器学习框架，用于学习具有隐状态且可由偏微分方程描述但缺乏显式模型的质量约束复杂系统的时空动力学。在第一步中，我们采用扩散映射（DMs），这是一种非线性流形学习算法，提取复杂时空演化的低维潜在表示。在第二步中，我们使用稀疏非线性动力学识别（SINDy）和标准线性多变量自回归模型（MVARs）学习流形信息的简化模型（ROM），以逼近潜在空间上的解算子。在最后一步，通过基于 k 近邻算法的凸插值求解（病态的）原像问题，将潜在动力学提升回原始高维空间。通过这种方式，所提出的框架在不显式识别偏微分方程本身的情况下，重构了未知质量约束偏微分方程的解算子。为比较目的，我们还评估了该方案构建基于正交分解（POD）的简化模型的性能，并证明了 POD 和 k 近邻提升算子均保留质量守恒。我们使用两个基准问题进行说明：(a) 人群动力学 Hughes 模型，其最小化行走时间同时避免障碍物和高密度区域；(b) 涉及被动迹移物在周期性 Navier--Stokes 速度场中被输送的计算流体动力学问题。我们表明，受 DMs 信息启发的简化模型 yield 简洁且一致优于最佳 POD 信息化简模型的模型，使其在潜在空间以及通过重构在原始高维空间中长期时间范围内，对解算子实现稳定且准确的近似。