以一维流形式表示的多维偏微分方程的特解

我们提出了一种算法，可将表示为一维流形式 $u_t + w_{x_1}(u,u_{x},u_{xx},\dots)=0$ 的 $(M+1)$ 维非线性偏微分方程 (PDE)（其中 $w$ 是 $u$ 及其 $x_i$ 导数，$i=1,\dots,M$ 的任意局部函数）约化为 $M$ 维非线性 PDE 族 $F(u,w)=0$，其中 $F$ 是某个二阶二维非线性 PDE 的通解（或特解）。特别地，该 $M$ 维 PDE 可能是一个常微分方程 (ODE)，在某些情况下可积分，从而得到原始 $(M+1)$ 维 PDE 的显式解。此外，谱参数可引入函数 $F$ 中，从而产生与原始 PDE 相关联的线性谱方程。文中给出了具有显式解的非线性 PDE 的最简单示例。