双射关联或同胚拓扑的部分序

拓扑 $\tau , \sigma \in \mathop{{\mathrm{Top}}}\nolimits _X$ 若存在连续双射映射 $f: (X, \tau )\rightarrow (X, \sigma )$ 和 $g: (X, \sigma)\rightarrow (X, \tau )$，则称它们为双射关联，记作 $\tau \sim \sigma$。定义 $[\tau ]_{\cong}=\{ \sigma \in \mathop{{\mathrm{Top}}}\\nolimits _X : \sigma \cong \tau\}$ 和 $[\tau ]_{\sim }=\{ \sigma \in \mathop{{\mathrm{Top}}}\\nolimits _X : \sigma \sim \tau\}$，我们证明：对于每个无限 1-齐次线性序 ${\mathbb L}$，都存在一个拓扑 $\tau \in \mathop{{\mathrm{Top}}}\\nolimits _{|L|}$ 满足：(a) $\langle [\tau ]_{\cong}, \subset \rangle \cong \dot{\bigcup}_{2^{|L|}}{\mathbb L}$（由 $2^{|L|}$ 个 ${\mathbb L}$ 的不相交并），因此 $[\tau ]_{\cong}$ 中的每个最大链均同构于 ${\mathbb L}$；(b) $\langle [\tau ]_{\sim}, \subset \rangle\cong \dot{\bigcup}_{2^{|L|}}\widetilde{{\mathbb L}}$，其中 $\widetilde{{\mathbb L}}$ 为 ${\mathbb L}$ 的 Dedekind 完成，因此 $[\tau ]_{\sim}$ 中的每个最大链均同构于 $\widetilde{{\mathbb L}}$。若线性序 ${\mathbb L}$ 另外满足 Dedekind 完备，则拓扑 $\tau$ 为弱可逆、不可逆，且 $\langle [\tau ]_{\sim}, \subset \rangle=\langle [\tau ]_{\cong}, \subset \rangle\cong \dot{\bigcup}_{2^{|L|}}{\mathbb L}$。