基于有限域定义的 Costas 阵列的奇偶性

$n$ 阶 Costas 阵列是由点和空位排成 $n$ 行 $n$ 列的布置，每行每列恰好有一个点，且该布置满足某些特定条件。如果这种阵列中的一个点出现在第 $i$ 行和第 $j$ 列，其中 $i$ 和 $j$ 均为偶数，则该点为偶/偶点，类似地可以定义奇/奇、偶/奇和奇/偶点。两类 Costas 阵列，即 Golomb-Costas 和 Welch-Costas 阵列，可以使用有限域来定义。当 $q$ 是奇素数的幂时，我们枚举了 Golomb-Costas 阵列中偶/偶、奇/奇、偶/奇和奇/偶点的数量。我们证明了其中三个数相等，且与第四个数相差 $\pm 1$。对于阶为 $p-1$ 的 Welch-Costas 阵列，其中 $p$ 是奇素数，当 $p\equiv 1\pmod{4}$ 时，上述四个数均等于 $(p-1)/4$；但当 $p\equiv 3\pmod{4}$ 时，我们证明了这四个数由虚二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ 的类数定义，因此其行为表现出更不可预测的方式。