关于 Costas 置换互相关的注记

我们基于 Drakakis 等人(2011)关于 Welch 与 Golomb Costas 置换族最大互相关的工作。具体而言,我们解决了他们的一些猜想。更精确地,我们证明两个结果。第一,对素数 $p\ge 5$,$\{1,\ldots,p-1\}$ 的 $\varphi(p-1)$ 个不同 Welch Costas 置换族的最大互相关为 $(p-1)/t$,其中若 $p$ 不是安全素数则 $t$ 为 $(p-1)/2$ 的最小素因子,否则至多为 $1+p^{1/2}$。此处 $\varphi$ 表示欧拉函数,素数 $p$ 为安全素数是指 $(p-1)/2$ 也是素数。第二,对素数幂 $q\ge 4$,$\{1,\ldots,q-2\}$ 的 Golomb Costas 置换子族的最大互相关为:若 $q$ 为奇数且 $(q-1)/2$ 非素数则 $t$ 为 $(q-1)/2$ 的最小素因子,若 $q$ 为偶数且 $q-1$ 非素数则 $t$ 为 $q-1$ 的最小素因子,此时互相关为 $(q-1)/t-1$;否则至多为 $1+q^{1/2}$。注意我们考虑的族比 Drakakis 等人更小:我们的族大小为 $\varphi(q-1)$,而不同的 Golomb Costas 置换有 $\varphi(q-1)^2$ 个。Drakakis 等人表中较大族的最大互相关对某些 $q$ 大于我们对较小族的界。