用竞争随机游走给图染色

设 $X_1,X_2$ 是 $\mathbf{Z}_n^d$ ($d\geq3$) 上的独立随机游走,各自从均匀分布出发。初始时,$\mathbf{Z}_n^d$ 的每个位点均未标记,每当 $X_i$ 访问到这样一个位点时,该位点被不可逆地设置为 $i$。当 $\mathbf{Z}_n^d$ 全部被访问过后,由 $i$ 染色的位点集合 $\mathcal{A}_i$ 的基数 $|\mathcal{A}_i|$ 的均值由对称性知为 $\frac{1}{2}n^d$。我们证明了由 Pemantle 和 Peres 提出的如下猜想:对每个 $d\geq3$,存在常数 $\alpha_d$,使得 $\lim_{n\to\infty}\operatorname{Var}(|\mathcal {A}_i|)/h_d(n)=\frac{1}{4}\alpha_d$,其中 $h_3(n)=n^4$, $h_4(n)=n^4(\log n)$, 且对 $d\geq5$ 有 $h_d(n)=n^d$。我们还将显式地确定 $\alpha_d$,并证明当 $d\to\infty$ 时 $\alpha_d\to1$。这是一个更一般定理的特例,该定理给出了对于一大类暂态、顶点传递图(其他例子包括超立方体和由对换生成的对称群的 Caley 图)上 $\operatorname{Var}(|\mathcal{A}_i|)$ 的渐近行为。