$\Out(F_n)$ 与谱隙猜想
群论
2007-05-23 v2 表示论
摘要
对 n>2，给定随机选取的 S^2 等距变换 φ_1,...,φ_n，熟知由 φ_1,...,φ_n 生成的群 Γ 在 S^2 上的作用遍历。文献 [GJS] 猜想对几乎所有 φ_1,...,φ_n 的选取，该作用是强遍历的。这等价于 φ_1+φ_1^{-1}+...+φ_n+φ_n^{-1} 作为 L^2(S^2) 上算子的谱具有谱隙（spectral gap），即除最大特征值外所有特征值被某个 λ_1<2n 从上界住。最大特征值 λ_0（对应常值函数）为 2n。本文证明若 n>2，则要么该猜想为真，要么几乎所有 n-元组都不具有谱隙。事实上，同样结果对任一紧群 K 中任一 n-元组 φ_1,...,φ_n 成立，只要 K 是 SU(2) 因子的几乎直积，并将 L^2(S^2) 替换为 L^2(X)，其中 X 为任意齐性 K-空间。对 n=2 证明了较弱结果，并对更一般紧群上 F_n 的类似作用给出了一些条件结果。
引用
@article{arxiv.math/0601050,
title = {$\Out(F_n)$ and the spectral gap conjecture},
author = {David Fisher},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0601050},
year = {2007}
}
备注
Final version. Minor modifications to text, several references added. To appear IMRN