流形上的振荡积分算子及相关Kakeya与Nikodym问题

我们考虑Riemann流形上由流形上Bochner-Riesz问题的研究自然产生的Carleson-Sjölin算子。它们是Hörmander型振荡积分算子的特例。我们在两种情形下获得了Carleson-Sjölin算子改进的$L^p$界：底层流形具有常截面曲率的情形，以及流形满足Sogge混沌曲率条件的情形。这两个结果依赖于非常不同的方法：为证明前者，我们证明在Riemann流形上，距离函数满足Bourgain条件当且仅当该流形具有常截面曲率。为获得第二个结果，我们引入Hörmander型振荡积分算子的“接触阶”概念，证明若一Hörmander型振荡积分算子具有有限接触阶，则它总有优于“最坏情形”的$L^p$界（精神源于Bourgain与Guth，以及Guth、Hickman与Iliopoulou），并最终验证对满足Sogge混沌曲率条件的Riemann流形，其距离函数总具有有限接触阶。作为副产品，我们获得了常截面曲率流形上Nikodym极大函数的新的界。