Yule 树高度的振荡及其在二叉搜索树中的应用

对于具有格点支撑的分枝随机游动的一个特例，即 Yule 分枝随机游动，我们证明了中心化最大值的分布围绕对应于临界行波的一个分布进行振荡，具体意义如下：存在连续函数 $t \mapsto a_t$ 和 $x \mapsto \overline{\phi}(x)$，使得：$$\lim_{t \rightarrow +\infty} \sup_{x \in \mathbb{R}} \vert \mathbb{P}(\overline{X}(t) \leq a_t +x )-\overline{\phi}(x- \{ a_t +x\})\vert=0,$$其中 $\{x\}=x-\lfloor x \rfloor$ 且 $\overline{X}(t)$ 为 Yule 树的高度。我们还表明，当 $f$ 属于一大类函数时，类似的振荡也发生于 $\mathbb{E}\left(f(\overline{X}(t)-a_t)\right)$。该过程经典地与二叉搜索树相关，从而为二叉搜索树的高度和饱和水平得出了类似的结果。