振荡渐近性与安德鲁斯的猜想

1986年，安德鲁斯研究了拉马努金“遗失”笔记本中的函数 $\sigma(q)$，并对其傅里叶系数 $S(n)$（其计数特定的分拆秩）提出了若干猜想。1988年，安德鲁斯、戴森与希克森著名地解决了这些猜想，将系数 $S(n)$ 与 $\mathbb Q(\sqrt{6})$ 的算术联系起来；科恩在其关于马斯波形（Maass waveforms）的工作中进一步阐述了这一关系，最近策格斯以及李和勒里希（Roehrig）又对其进行了推广。对安德鲁斯关于 $\sigma(q)$ 的原有工作更细致的考察揭示了额外的相关函数与猜想，本文即研究这些内容。特别地，我们研究了同样出自拉马努金“遗失”笔记本的函数 $v_1(q)$——一个具有分拆论傅里叶系数 $V_1(n)$ 的 $q$-超几何级数，并证明了安德鲁斯关于 $V_1(n)$ 的两个猜想，它们与其关于 $S(n)$ 的原始猜想相平行。我们的方法不同于安德鲁斯-戴森-希克森所用的方法，需要将受加鲁法利亚迪斯（Garoufalidis）和扎吉尔（Zagier）近期关于纳姆和（Nahm sums）渐近性工作启发的全新技巧，与分析数论中的圆法等经典技巧相融合；我们的方法也可用于确定类似的、不适于经典技巧的 $q$-超几何级数的渐近行为。我们还对安德鲁斯的其他相关猜想给出解释，最终将 $V_1(n)$ 的渐近性与 $\mathbb Q(\sqrt{-3})$ 的算术联系起来。