测度与态的正交性

我们给出 Preiss 与 Rataj 定理的一个简短证明，该定理断言在 Polish 空间上不存在解析极大正交族 (mofs) 的 Borel 概率测度。当底层空间为紧致且完备（perfect）时，我们证明非极大性的见证集是 comeagre 的。我们的论证基于 Preiss 与 Rataj 的原始证明，但作了显著简化。该证明可推广以表明：在 $\mathsf{MA} + \neg \mathsf{CH}$ 下不存在 $\mathbf{\Sigma^1_2}$ mofs，在 $\mathsf{PD}$ 下不存在射影 mofs，在 $\mathsf{AD}$ 下根本不存在 mofs。我们还将 Kechris 与 Sofronidis 的一个结果推广到某类 C*-代数上的态：该结果原指对每个解析正交 Borel 概率测度族，存在一个与该族中所有测度都正交的乘积测度。