具有给定面度与本质围长的环面地图的定向与双射

我们给出环面上对面度与本质围长（周期平面表示的围长）可控的地图的统一双射。第一步是证明对 d>=3，每个本质围长为 d 的环面 d-角化为其赋予某种“典范”定向（表述为半边上的权分配）。借助 Bernardi 与 Chapuy 构造的适配，我们可导出本质围长为 d 的、面根环面 d-角化（满足除根面轮廓外无其他长度为 d 的闭途径包围根面）与一族带装饰的单胞地图之间的双射。该定向与双射随后可对任一 d>=1 推广至本质围长为 d 且根面度为 d 的环面面根地图（并带有与 d-角化相同的根面轮廓条件），且在二部情形下作为奇偶性特化取更简单的形式。在计数方面，我们得到环面上根本质简单三角化与二部四角化的生成函数的显式代数表达式。我们的双射构造可视为 Bernardi 与第一作者在平面情形所得结果的环面对应，并且也建立在 Despré、Gonçalves 与第二作者在本质简单三角化中引入的思想——即在亏格 1 的定向上施加平衡条件——之上。