从亏格 $g$ 曲面到环面的最小单纯度 $d$ 映射

可定向流形之间映射的度是拓扑学中的一个基本概念，为流形的结构和相应映射的性质提供了深刻的见解。这个概念已被广泛研究，特别是在可定向可三角剖分空间之间的单纯映射背景下。1982 年，Gromov 证明了如果对于每个 $d \in \mathbb{Z}$，都存在从亏格 $g$ 可定向曲面到亏格 $h$ 可定向曲面的度 $d$ 映射，那么 $h$ 必须是 0 或 1。最近，球面上的度 $d$ 自映射，特别是亏格 0 曲面上的，已被研究。在本文中，我们关注环面的唯一最小 7 顶点三角剖分。我们构造了从亏格 $g$ 曲面的三角剖分到环面的 7 顶点三角剖分的单纯度 $d$ 映射，其中 $g \geq 1$。当 $g = 1,2$ 时，我们对每个 $d$ 的度 $d$ 映射构造都是最小的。如果 $g \geq 3$，那么当 $|d| \geq 2g - 1$ 时，我们的构造仍然是最小的。我们相信这个概念在组合拓扑学中将非常有用，因为它引出了几个有趣的开放研究问题。在最后一节中，我们提出了一些这样的开放研究问题。